【基本不等式公式四个】在数学学习中，基本不等式是解决最值问题、比较大小以及证明不等式的重要工具。它在代数、几何、微积分等多个领域都有广泛应用。以下是常见的四个基本不等式公式，它们是学习和应用不等式的基础。
一、
1. 均值不等式（AM ≥ GM）
对于任意非负实数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
$$
当且仅当 $ a = b $ 时取等号。这是最基本的不等式之一，常用于求极值问题。
2. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）
对于任意实数 $ a_1, a_2, ..., a_n $ 和 $ b_1, b_2, ..., b_n $，有：
$$
(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2
$$
当且仅当 $ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} $ 时取等号。
3. 三角不等式（Triangle Inequality）
对于任意实数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
$$
表示两个向量的长度之和大于或等于它们的和的长度，是向量分析中的基础不等式。
4. 排序不等式（Rearrangement Inequality）
设 $ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n $ 和 $ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $，则对于任意排列 $ c_1, c_2, ..., c_n $，有：
$$
a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1c_1 + a_2c_2 + \cdots + a_nc_n \geq a_1b_n + a_2b_{n-1} + \cdots + a_nb_1
$$
说明按相同顺序相乘的积最大，按相反顺序相乘的积最小。
二、表格形式展示
| 不等式名称 | 公式表达 | 条件/等号成立条件 | ||||||
| 均值不等式 | $ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $ | $ a, b \geq 0 $；当 $ a = b $ 时等号成立 | ||||||
| 柯西不等式 | $ (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + \cdots + a_nb_n)^2 $ | $ \frac{a_1}{b_1} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} $ 时等号成立 | ||||||
| 三角不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | 对任意实数 $ a, b $ 成立 |
| 排序不等式 | $ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1c_1 + \cdots + a_nc_n \geq a_1b_n + \cdots + a_nb_1 $ | $ a_i $ 与 $ b_i $ 同序时最大，反序时最小 |
通过掌握这四个基本不等式，可以更有效地解决许多实际问题，如优化问题、函数极值分析等。在学习过程中，建议结合具体例题进行练习，以加深对公式的理解和应用能力。