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贝叶斯优化计算公式

2025-09-21 16:29:54

问题描述：

贝叶斯优化计算公式，蹲一个有缘人，求别让我等空！

芒果公关

问答领域知识达人

2025-09-21 16:29:54

【贝叶斯优化计算公式】贝叶斯优化是一种用于全局优化的高效方法，广泛应用于机器学习超参数调优、实验设计等领域。其核心思想是通过构建概率模型来近似目标函数，并利用该模型指导下一步采样点的选择。本文将对贝叶斯优化的主要计算公式进行总结，并以表格形式呈现关键步骤与公式。

一、贝叶斯优化的基本流程

1. 定义目标函数：

目标函数 $ f(x) $ 是需要最小化或最大化的函数，通常在高维空间中难以直接求解。

2. 初始化：

随机选择若干初始点作为训练样本，形成初始数据集 $ D = \{ (x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n) \} $，其中 $ y_i = f(x_i) $。

3. 构建概率模型（先验）：

使用高斯过程（Gaussian Process, GP）或其他概率模型对目标函数进行建模，得到先验分布 $ p(f(x)) $。

4. 更新后验分布：

利用已知的数据 $ D $ 更新模型，得到后验分布 $ p(f(x)D) $。

5. 选择下一个采样点：

根据某种采集函数（Acquisition Function）确定下一个最优的采样点 $ x_{n+1} $。

6. 迭代优化：

重复上述步骤，直到达到预设的迭代次数或收敛条件。

二、贝叶斯优化的关键公式

步骤	公式	说明
1. 高斯过程先验	$ f(x) \sim \mathcal{GP}(m(x), k(x, x')) $	假设目标函数服从高斯过程，均值函数为 $ m(x) $，协方差函数为 $ k(x, x') $
2. 后验分布	$ f(x)	D \sim \mathcal{GP}(m_{\text{post}}(x), k_{\text{post}}(x, x')) $	利用数据 $ D $ 更新后的高斯过程后验分布
3. 后验均值	$ m_{\text{post}}(x) = m(x) + k(x, X)^T [K(X, X) + \sigma^2 I]^{-1} (y - m(X)) $	计算后验均值
4. 后验协方差	$ k_{\text{post}}(x, x') = k(x, x') - k(x, X)^T [K(X, X) + \sigma^2 I]^{-1} k(x', X) $	计算后验协方差
5. 采集函数（如EI）	$ \text{EI}(x) = \mathbb{E}_{f \sim p(f	x)} [\max(0, f_{\min} - f(x))] $	期望改进函数，用于选择下一个采样点
6. 最优采样点	$ x_{n+1} = \arg\max_{x} \text{EI}(x) $	在当前模型下最大化采集函数的点

三、常用采集函数

四、总结

贝叶斯优化通过概率建模和动态采集策略，在有限的样本下实现高效的全局优化。其核心在于高斯过程对目标函数的建模以及采集函数对后续采样点的选择。通过合理设置先验、后验和采集函数，可以有效提升优化效率并避免陷入局部最优。

以上内容为贝叶斯优化计算公式的总结，适用于初学者和实践者理解其原理与应用。

标签：贝叶斯优化计算公式

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