【同阶无穷小】在高等数学中，无穷小量是一个重要的概念。当自变量趋近于某个值时，如果一个函数的极限为0，那么这个函数就被称为无穷小量。在比较不同无穷小量的“速度”时，“同阶无穷小”是一个关键的概念。
一、什么是同阶无穷小？
若两个无穷小量 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在 $ x \to a $ 时满足：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = C \neq 0
$$
其中 $ C $ 是一个有限常数，则称 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 是 同阶无穷小。这表示它们在趋近于0时的速度是相近的，只是相差一个常数倍。
二、同阶无穷小的性质
1. 对称性：若 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 是同阶无穷小，则 $ g(x) $ 与 $ f(x) $ 也是同阶无穷小。
2. 传递性：若 $ f(x) \sim g(x) $ 且 $ g(x) \sim h(x) $，则 $ f(x) \sim h(x) $。
3. 可替换性：在极限运算中，若 $ f(x) \sim g(x) $，则在某些条件下可以相互替换。
三、常见的同阶无穷小关系
以下是一些常见函数在 $ x \to 0 $ 时的同阶无穷小关系：
| 函数 $ f(x) $ | 同阶无穷小 $ g(x) $ | 说明 |
| $ \sin x $ | $ x $ | 当 $ x \to 0 $ 时，$ \sin x \sim x $ |
| $ \tan x $ | $ x $ | $ \tan x \sim x $ |
| $ \ln(1+x) $ | $ x $ | $ \ln(1+x) \sim x $ |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{x^2}{2} $ | $ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} $ |
| $ e^x - 1 $ | $ x $ | $ e^x - 1 \sim x $ |
| $ \arcsin x $ | $ x $ | $ \arcsin x \sim x $ |
四、应用举例
例如，在计算极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
$$
由于 $ \sin x \sim x $，因此该极限为：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$
再如：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}
$$
由于 $ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} $，所以：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
$$
五、总结
同阶无穷小是研究函数在趋近于某一点时变化速率的重要工具。通过比较两个无穷小的比值是否趋于非零常数，可以判断它们是否为同阶无穷小。掌握这一概念有助于更高效地处理极限问题和泰勒展开等高级内容。
表格总结：常见同阶无穷小关系
| 原函数 | 同阶无穷小 | 趋近点 |
| $ \sin x $ | $ x $ | $ x \to 0 $ |
| $ \tan x $ | $ x $ | $ x \to 0 $ |
| $ \ln(1+x) $ | $ x $ | $ x \to 0 $ |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{x^2}{2} $ | $ x \to 0 $ |
| $ e^x - 1 $ | $ x $ | $ x \to 0 $ |
| $ \arcsin x $ | $ x $ | $ x \to 0 $ |