【arccosx的导数】在数学中，反三角函数的导数是微积分中的重要内容。其中，arccosx 是余弦函数的反函数，其导数在求解相关问题时具有重要应用。本文将总结 arccosx 的导数，并通过表格形式清晰展示。
一、arccosx 的导数推导
已知函数 $ y = \arccos x $，即 $ x = \cos y $，对两边关于 x 求导：
$$
\frac{d}{dx} (x) = \frac{d}{dx} (\cos y)
$$
左边为 1，右边用链式法则求导：
$$
1 = -\sin y \cdot \frac{dy}{dx}
$$
因此：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}
$$
由于 $ y = \arccos x $，所以 $ \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $，代入得：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
所以，$ \frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
二、总结与表格展示
| 函数 | 导数 |
| $ \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
三、注意事项
- 定义域：$ x \in [-1, 1] $
- 值域：$ y \in [0, \pi] $
- 导数表达式中分母为正实数，因此导数整体为负值，表示函数在定义域内单调递减。
四、小结
arccosx 的导数是一个常见的微积分结果，其形式简洁但含义深刻。理解其推导过程有助于更好地掌握反三角函数的性质及其在实际问题中的应用。